一个80年前提出的几何猜想，被AI推翻了

一个看似简单的几何问题

近80年来，数学家们一直在研究一个看似简单、实则极难的问题：如果在平面上放置n个点，那么最多能有多少对点之间的距离恰好等于“1”？

这便是“单位距离问题”，最早由保罗·埃尔德什（Paul Erdős）于1946年提出。它是组合几何学中最著名的问题之一。当时，埃尔德什证明，随着方格规模不断扩大，其中单位距离点对的数量也会趋向无穷，而且其增长速度会比点的数量略微快一点。不仅如此，他还猜想，没有人能够找到更好的方法，来排列出如此多的单位距离点对。

几十年来，这一猜想一直为许多数学家所接受。直到现在，OpenAI的一个内部的AI模型推翻了它。目前，这一突破已通过了数学家的独立验证。

单位距离问题的最优答案

假设平面上的n个点之间，距离恰好为单位距离的点对所能达到的最大数量为u(n)。要构造出线性增长的例子并不难：如果把n个点排成一条直线，就能得到n−1个单位距离点对（比如把平面上的9个点排成一条直线，就会得到8个单位距离点对）；如果把点放在方形网格上，则大约能得到2n个单位距离点对。

此前最好的已知构造来自一种“重新缩放的方形网格”，它实际上能产生更多单位距离点对：对于某个常数C，点对数量可以达到n^{1 +C/log[log(n)]}。由于log[log(n)] 会随着n的增大而趋向无穷大，因此指数中的附加项会趋向于0；这意味着，这类构造的增长速度只比线性增长略快一点。几十年来，数学家们普遍认为，这一增长率基本上已经是最优的了，没有任何构造能够比方格类构造显著更好。

此前已知的一种构造：通过重新缩放的方形网格，得到大量单位距离点对。（图/OpenAI）

埃尔德什认为无论你怎样排列n个点，单位距离点对数量最多也只能达到n^[1+o(1)]这种级别，其中附加项o(1)表示一个会随着n增大而趋向于0的量。

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直到现在，OpenAI推翻了埃尔德什的猜想：对于无穷多个n的取值，新的证明构造出了由n个点组成的排列方式，其中至少包含n^(1+δ) 个单位距离点对，且这里的δ是某个大于0的固定常数。AI最初给出的证明并没有给出一个明确的δ值。但数学教授Will Sawin即将完成的一项改进表明，可以取：δ=0.014。

新的结果提高了已知下界，证明单位距离点对数量至少可以达到n^(1+δ)。由于这个增长速度超过了埃尔德什猜想中的n^[1+o(1)]上界增长率，因此该结果推翻了这一长期存在的猜想。

当数学遇上AI

埃尔德什最初给出的下界，可以通过高斯整数来理解。高斯整数是形如a+bi的数，其中a和b是整数，i是−1的平方根。高斯整数是对普通整数的扩展；而且与普通整数类似，它们也具有唯一分解为素数的性质。

新的论证则用代数数论中更复杂的推广对象取代了高斯整数；这些对象具有更丰富的对称性，因而能够产生更多长度为1的差，也就是更多单位距离点对。更精确地说，新的论证使用了无限类域塔和Golod–Shafarevich理论等工具，来证明论证所需的那些数域确实存在。这些思想对代数数论家来说早已熟知，但令人意外的是，它们竟然会对欧几里得平面中的几何问题产生影响。

这一推理过程包含在一份125页的文件中，但OpenAI尚未完整公开这份文件，也没有披露该模型的名称。已知的是，这项突破来自一个实验性的通用推理模型，并非一个专门为解决数学问题而设计的模型。它是在回应一次提示时自主完成了全部工作，而那次提示只是机器重写后的埃尔德什问题表述。

这一结果标志着AI与数学互动中的一个重要时刻：一个AI系统自主解决了一个长期存在的开放问题，而这个问题正处在一个活跃研究领域的核心。它也让我们初步看到了AI与人类数学家之间一种新型合作方式。在这个案例中，外部数学家撰写的配套工作，呈现出了比原始解答本身更加丰富的图景。

这个解法揭示了代数数论与离散几何之间意想不到的联系，这正是该结果引人注目的原因之一。它并不只是解决了一个具体猜想，还可能为数学家提供一座桥梁，使他们能够进一步探索相关问题。它供了一个很有前景的例子：AI不仅贡献了一个解答，还带来了一项数学发现；而这项发现的意义，会在随后的人类理解中变得更加清晰、更加丰富。

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